Ciąg liczbowy to funkcja \(a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), zapisywana jako \((a_n)_{n=1}^{\infty}\). Każdemu \(n\) przypisujemy jedną wartość \(a_n\) -wyraz ciągu.
Ograniczoność: Ciąg jest ograniczony, gdy istnieje \(M > 0\) takie, że \(|a_n| \le M\) dla każdego \(n\).
Monotoniczność:
\(\bullet\) rosnący: \(a_{n+1} > a_n\) \(\bullet\) niemalejący: \(a_{n+1} \ge a_n\)
\(\bullet\) malejący: \(a_{n+1} < a_n\) \(\bullet\) nierosnący: \(a_{n+1} \le a_n\)
Aby zbadać monotoniczność, sprawdź znak \(a_{n+1} - a_n\) lub iloraz \(a_{n+1}/a_n\) (gdy \(a_n > 0\)).
Twierdzenie Weierstrassa: Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Przykład: \(a_n = \frac{n}{n+1}\) jest rosnący (bo \(a_{n+1}-a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0\)) i ograniczony (\(0 < a_n < 1\)), więc jest zbieżny. Granica: \(\lim a_n = 1\).
Mówimy, że ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do \(g \in \mathbb{R}\), gdy:
Słownie: dla każdego (dowolnie małego) \(\varepsilon\) istnieje taki numer \(N\), że wszystkie wyrazy od \(a_{N+1}\) wzwyż odchylają się od \(g\) o mniej niż \(\varepsilon\).
Definicja granicy: po przekroczeniu \(N\) (zielone punkty) wszystkie wyrazy mieszczą się w paśmie \((g-\varepsilon,\;g+\varepsilon)\).
Twierdzenie o trzech ciągach (sandwich): Jeśli \(a_n \le b_n \le c_n\) i \(\lim a_n = \lim c_n = g\), to \(\lim b_n = g\).
Arytmetyka granic -jeśli \(\lim a_n = a\) i \(\lim b_n = b\):
\[\lim(a_n \pm b_n) = a \pm b, \quad \lim(a_n \cdot b_n) = a \cdot b, \quad \lim\frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}\;(b \ne 0)\]Przykład: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n}{n^2-5} = \lim\frac{3+\frac{2}{n}}{1-\frac{5}{n^2}} = \frac{3+0}{1-0} = 3\)
Najczęstsze symbole nieoznaczone: \(\frac{0}{0},\;\frac{\infty}{\infty},\;0\cdot\infty,\;\infty-\infty,\;1^\infty,\;0^0,\;\infty^0\).
Granice, które trzeba znać:
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n = e^a \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 \qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1 \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n}=0\;(a>1)\]\(e \approx 2{,}718\). Ostatnia granica mówi, że funkcja wykładnicza rośnie szybciej niż wielomianowa.
Przykład -symbol \(1^\infty\): \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n = e^3 \approx 20{,}086\)
Szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) to ciąg sum częściowych \(S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N\). Szereg jest zbieżny, gdy ciąg \((S_N)\) ma skończoną granicę.
Warunek konieczny zbieżności:
\[\text{Jeśli } \sum a_n \text{ jest zbieżny, to } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.\]Uwaga: Warunek NIE jest wystarczający! Szereg harmoniczny \(\sum\frac{1}{n}\) jest rozbieżny, mimo że \(\frac{1}{n} \to 0\).
| Szereg | Postać | Zbieżność | Suma (gdy zbieżny) |
|---|---|---|---|
| Geometryczny | \(\sum q^n\) | \(|q| < 1\) | \(\frac{1}{1-q}\) (od \(n=0\)) |
| Harmoniczny | \(\sum \frac{1}{n}\) | Rozbieżny | - |
| p-szereg | \(\sum \frac{1}{n^p}\) | \(p > 1\) | brak wzoru ogólnego |
Przykład: \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\)
Sumy częściowe szeregu geometrycznego \(q=\frac{1}{4}\) zbiegają do \(\frac{4}{3}\).
Porównawcze: Jeśli \(0 \le a_n \le b_n\) i \(\sum b_n\) zbieżny, to \(\sum a_n\) zbieżny. Jeśli \(\sum a_n\) rozbieżny, to \(\sum b_n\) rozbieżny.
Ilorazowe (graniczne): Jeśli \(\lim \frac{a_n}{b_n} = c \in (0, \infty)\), to oba szeregi mają ten sam charakter.
Przykład: Zbadaj \(\sum\frac{1}{n^2+3n}\). Porównujemy z \(\frac{1}{n^2}\): \(\;\lim\frac{n^2}{n^2+3n} = 1 \in (0,\infty)\). Ponieważ \(\sum\frac{1}{n^2}\) jest zbieżny (p-szereg, \(p=2>1\)), nasz szereg też jest zbieżny.
| Kryterium | Badana granica | Zbieżny | Rozbieżny | Brak wniosku |
|---|---|---|---|---|
| d'Alembert | \(\displaystyle L = \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}\) | \(L < 1\) | \(L > 1\) | \(L = 1\) |
| Cauchy | \(\displaystyle L = \lim\sqrt[n]{a_n}\) | \(L < 1\) | \(L > 1\) | \(L = 1\) |
Przykład (d'Alembert): \(\displaystyle\sum\frac{n^2}{3^n}\): \(\;L = \lim\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2} = \frac{1}{3}\lim\frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{1}{3} < 1\) → zbieżny.
Przykład (Cauchy): \(\displaystyle\sum\left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n\): \(\;L = \lim\frac{2n}{3n+1} = \frac{2}{3} < 1\) → zbieżny.
Szereg naprzemienny \(\sum (-1)^n b_n\) (gdzie \(b_n > 0\)) jest zbieżny, gdy:
Przykład: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\): \(\;b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\) jest malejący i \(b_n \to 0\) → zbieżny (warunkowo, bo \(\sum\frac{1}{\sqrt{n}}\) jest rozbieżny jako p-szereg z \(p=\frac{1}{2}\)).
Szereg potęgowy: \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - x_0)^n\). Zbieżny w pewnym przedziale wokół \(x_0\).
Promień zbieżności (wzór Cauchy'ego-Hadamarda lub d'Alemberta):
\[R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \qquad\text{lub}\qquad R = \frac{1}{\limsup\sqrt[n]{|c_n|}}\]Szereg zbieżny bezwzgl. dla \(|x-x_0| < R\), rozbieżny dla \(|x-x_0| > R\). Końce \(x = x_0 \pm R\) -trzeba zbadać osobno!
Przykład: \(\displaystyle\sum\frac{x^n}{n \cdot 5^n}\): \(\;c_n = \frac{1}{n \cdot 5^n}\), \(\;\frac{c_n}{c_{n+1}} = \frac{(n+1) \cdot 5^{n+1}}{n \cdot 5^n} = 5\cdot\frac{n+1}{n} \to 5\). Więc \(R = 5\), przedział: \((-5, 5)\). W \(x=5\): \(\sum\frac{1}{n}\) -rozbieżny. W \(x=-5\): \(\sum\frac{(-1)^n}{n}\) -zbieżny (Leibniz). Odpowiedź: \([-5, 5)\).
Przedział zbieżności szeregu potęgowego -końce trzeba badać osobno.
Funkcja \(f\) klasy \(C^\infty\) w otoczeniu \(x_0\) ma rozwinięcie:
Maclaurin = Taylor w \(x_0 = 0\). Rozwinięcia do zapamiętania:
| Funkcja | Rozwinięcie Maclaurina | \(R\) |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\) | \(\infty\) |
| \(\sin x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\) | \(\infty\) |
| \(\cos x\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\) | \(\infty\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\) | \(1\) |
| \(\frac{1}{1-x}\) | \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\) | \(1\) |
Przykład: Oblicz \(e^{0.5}\) z 4 wyrazów Maclaurina:
\(e^{0.5} \approx 1 + 0.5 + \frac{0.25}{2} + \frac{0.125}{6} = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.02083 = 1{,}6458\)
Wartość dokładna: \(e^{0.5} \approx 1{,}6487\). Błąd: \(\approx 0{,}003\).
Oblicz granicę ciągu:
Oblicz granicę:
Który z poniższych ciągów jest rozbieżny?
Oblicz granicę (zaokrąglij do 3 miejsc po przecinku):
Prawda czy fałsz: „Każdy ciąg monotoniczny jest zbieżny."
Dany jest ciąg \(\displaystyle a_n = \frac{2n^2 + n}{n^2 + 3}\). Zbadaj jego własności.
(1 pkt) Oblicz \(\lim_{n\to\infty} a_n\).
(1 pkt) Czy ciąg jest rosnący czy malejący?
(2 pkt) Znajdź najmniejsze \(n\) takie, że \(|a_n - 2| < 0{,}1\).
Oblicz sumę szeregu geometrycznego (zaokrąglij do 3 m.p.):
Co wynika z tego, że \(\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0\)?
Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\) kryterium d'Alemberta.
(1 pkt) Oblicz iloraz \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) (uprość do postaci z \(n\)).
(1 pkt) Oblicz \(L = \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}\).
(1 pkt) Wniosek -szereg jest:
Dla jakich wartości \(p\) szereg \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) jest zbieżny?
Zaznacz wszystkie zbieżne szeregi:
Zbadaj szereg naprzemienny \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) kryterium Leibniza.
(1 pkt) Czy \(b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\) jest ciągiem nierosnącym?
(1 pkt) Ile wynosi \(\lim b_n\)?
(1 pkt) Czy zbieżność jest bezwzględna czy warunkowa?
Oblicz granicę (kryterium Cauchy'ego):
Które kryterium jest najlepsze do zbadania zbieżności \(\displaystyle\sum\frac{n!}{5^n}\)?
Uporządkuj ciągi od najwolniej (1) do najszybciej (3) zbieżnego do 0:
Szereg potęgowy \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n \cdot 5^n}\).
(1 pkt) Oblicz promień zbieżności \(R\).
(1 pkt) Czy szereg jest zbieżny w \(x = 5\)?
(1 pkt) Czy szereg jest zbieżny w \(x = -5\)?
(1 pkt) Podaj przedział zbieżności (np. „[-5,5)" lub „(-5,5]").
Oblicz promień zbieżności szeregu \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^n}{n!}\).
Oblicz \(e^{0.5}\) używając 4 pierwszych wyrazów rozwinięcia Maclaurina (\(n=0,1,2,3\)).
(1 pkt) Zapisz 4 wyrazy sumy (jako ułamki dziesiętne).
(2 pkt) Oblicz przybliżoną wartość \(e^{0.5}\) (zaokrąglij do 4 m.p.).
Oblicz sumę szeregu teleskopowego:
Zadanie złożone. Zbadaj szereg \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1} \cdot n}{3^n}\).
(1 pkt) Oblicz \(\lim\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\) (d'Alembert dla zbieżności bezwzgl.).
(1 pkt) Czy szereg jest zbieżny bezwzględnie?
(1 pkt) Oblicz sumę \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}\) (wskazówka: zróżniczkuj szereg geometryczny).
(2 pkt) Korzystając z powyższego, oblicz sumę oryginalnego szeregu \(\sum\frac{(-1)^{n+1} n}{3^n}\).