I zasada (bezwładności): Ciało pozostaje w spoczynku lub ruchu jednostajnym prostoliniowym, dopóki wypadkowa sił jest zerowa.
II zasada: Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do wypadkowej sił i odwrotnie proporcjonalne do masy.
\(F\) -siła wypadkowa [N], \(m\) -masa [kg], \(a\) -przyspieszenie [m/s²].
Przykład: Siła 20 N działa na ciało 4 kg: \(a = F/m = 20/4 = 5\;\text{m/s}^2\).
III zasada (akcja-reakcja): Jeśli ciało A działa na B siłą \(\vec{F}\), to B działa na A siłą \(-\vec{F}\).
Kluczowa technika rozwiązywania zadań: narysuj ciało jako punkt, zaznacz WSZYSTKIE siły, rozłóż na składowe, zastosuj II zasadę osobno dla każdej osi.
Diagram sił ciała na powierzchni poziomej: ciężar \(mg\), reakcja normalna \(N\), siła ciągnąca \(F\), tarcie \(f\).
Tarcie statyczne i kinetyczne:
\[f_s \le \mu_s N \qquad f_k = \mu_k N\]\(\mu_s\) -wsp. tarcia statycznego (progowe), \(\mu_k\) -kinetycznego (w ruchu). Zwykle \(\mu_s > \mu_k\).
Prawo Hooke'a (sprężystość):
\[F = -kx \qquad E_{\text{spr}} = \frac{1}{2}kx^2\]\(k\) -stała sprężystości [N/m], \(x\) -wydłużenie/skrócenie [m].
Przykład: Sprężyna \(k = 200\;\text{N/m}\) ściśnięta o \(x = 0{,}3\;\text{m}\): \(F = 200 \cdot 0.3 = 60\;\text{N}\), \(E = \frac{1}{2}\cdot 200\cdot 0.09 = 9\;\text{J}\).
Równia pochyła (kąt nachylenia \(\alpha\)):
\[F_\parallel = mg\sin\alpha \qquad N = mg\cos\alpha \qquad f = \mu mg\cos\alpha\]Skladowa wzdluz rowni ciagnie cialo w dol, reakcja normalna nie rowna sie mg!
Sily na rowni pochylej: ciazar mg (w dol), reakcja normalna N (prostopadle od powierzchni), skladowa zsuwajaca mg sin a (wzdluz rowni w dol).
Praca siły stałej:
\[W = F \cdot d \cdot \cos\theta\]\(F\) -siła [N], \(d\) -przesunięcie [m], \(\theta\) -kąt między \(\vec{F}\) a \(\vec{d}\). Jeśli \(\theta = 0\): \(W = Fd\). Jeśli \(\theta = 90°\): \(W = 0\).
Przykład: Ciągniesz walizkę siłą 50 N pod kątem 60° na odcinku 8 m: \(W = 50 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 200\;\text{J}\).
Moc:
\[P = \frac{W}{t} = F \cdot v\]\(P\) [W = J/s]. Druga postać przydatna przy ruchu ze stałą prędkością.
Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy:
\[E_k = \frac{1}{2}mv^2 \qquad W_{\text{wyp}} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2\]Przykład: Samochód 1000 kg hamuje z 20 m/s do 0: \(W_{\text{ham}} = 0 - \frac{1}{2}\cdot 1000 \cdot 400 = -200\;\text{kJ}\). Droga ham.: \(d \propto v^2\) -podwojenie prędkości = 4× dłuższa droga!
\(h\) -wysokość nad poziomem odniesienia, \(x\) -odkształcenie sprężyny.
Zasada zachowania energii mechanicznej (brak tarcia):
\[E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}\]Z tarciem: \(E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} + |W_{\text{tarcia}}|\)
Przykład (wahadło): Wahadło puszczone z \(h = 0{,}2\;\text{m}\): \(mgh = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 0.2} \approx 1{,}98\;\text{m/s}\).
Zamiana energii potencjalnej na kinetyczna -- calkowita energia mechaniczna stala (bez tarcia).
\(p\) -pęd [kg·m/s], \(J\) -popęd [N·s]. II zasada Newtona: \(F = \frac{dp}{dt}\).
Zasada zachowania pędu (układ izolowany):
\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'\]| Typ zderzenia | Zachowanie pędu | Zachowanie Ek | Przykład |
|---|---|---|---|
| Doskonale sprężyste | Tak | Tak | Bilard (idealny) |
| Niesprężyste | Tak | Nie (straty) | Zderzenie samochodów |
| Doskonale niesprężyste | Tak | Nie (max strata) | Złączenie po zderzeniu |
Zderzenie doskonale niesprężyste (ciała łączą się):
\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v'\]Przykład: Ciężarówka 3000 kg (10 m/s) uderza w stojące auto 1000 kg: \(v' = \frac{3000\cdot10}{4000} = 7{,}5\;\text{m/s}\). Strata: \(\Delta E_k = \frac{1}{2}\cdot3000\cdot100 - \frac{1}{2}\cdot4000\cdot56.25 = 150000 - 112500 = 37500\;\text{J}\).
Na ciało o masie 5 kg działa stała siła wypadkowa 20 N. Jakie jest przyspieszenie ciała [m/s²]?
Ciało leży na podłodze (\(\mu_s = 0.4\), \(m = 10\;\text{kg}\)). Jaka minimalna siła pozioma [N] ruszy ciało?
Które zdanie najlepiej opisuje I zasadę Newtona?
Klocek 4 kg na równi pochyłej (\(\alpha = 30°\), \(\mu_k = 0{,}2\)). Brak siły ciągnącej -klocek zsuwa się.
(1 pkt) Siła normalna \(N\) [N]:
(2 pkt) Przyspieszenie zsuwania [m/s²]:
Sprężyna \(k = 300\;\text{N/m}\) ściśnięta o 0,2 m. Ile wynosi energia sprężysta [J]?
Dźwig podnosi ładunek 500 kg na wysokość 20 m w czasie 40 s.
(1 pkt) Praca wykonana przez dźwig [kJ]:
(2 pkt) Moc dźwigu [W]:
Siła 50 N ciągnie walizkę pod kątem 60° do poziomu na odcinku 8 m. Praca [J]?
Samochód podwaja prędkość z 50 km/h na 100 km/h. Ile razy wzrasta droga hamowania?
Prawda czy fałsz: „Siła normalna wykonuje pracę na ciało poruszające się po poziomej powierzchni."
Zaznacz wszystkie siły zachowawcze (konserwatywne):
Na jakiej wysokości [m] ciało 2 kg ma energię potencjalną równą energii kinetycznej przy \(v = 6\;\text{m/s}\)?
Wahadło o długości \(L = 1{,}5\;\text{m}\) wychylone o kąt 30° od pionu i puszczone.
(1 pkt) Wysokość podniesienia \(h = L(1-\cos\theta)\) [m]:
(2 pkt) Prędkość w najniższym punkcie [m/s]:
Maszyna Atwooda: dwa ciała (6 kg i 4 kg) na linie przez bloczek.
(1 pkt) Przyspieszenie układu [m/s²]:
(2 pkt) Naciąg liny [N]:
Oblicz pęd ciała o masie 3 kg poruszającego się z prędkością 10 m/s [kg·m/s]:
Ciężarówka 5000 kg (8 m/s) uderza w stojące auto 1000 kg. Zderzenie doskonale niesprężyste.
(1 pkt) Prędkość po zderzeniu [m/s]:
(2 pkt) Strata energii kinetycznej [kJ]:
Zderzenie sprężyste dwóch kul o równych masach. Kula 1 ma \(v_1 = 5\;\text{m/s}\), kula 2 stoi. Po zderzeniu kula 1:
Narciarz (70 kg) zjeżdża bez tarcia z górki o wysokości 15 m, potem jedzie po płaskim odcinku 40 m z \(\mu_k = 0{,}1\).
(1 pkt) Prędkość u podnóża górki [m/s]:
(1 pkt) Praca tarcia na płaskim odcinku [J]:
(1 pkt) Prędkość na końcu płaskiego odcinka [m/s]:
Samochód jedzie ze stałą prędkością 25 m/s. Opór ruchu wynosi 800 N. Moc silnika [kW]?
Strzelec (80 kg) stojący na lodzie strzela z karabinu (pocisk 10 g, \(v_p = 600\;\text{m/s}\)).
(1 pkt) Prędkość odrzutu strzelca [m/s]:
(2 pkt) Energia kinetyczna pocisku [J]:
Klocek 2 kg zsuwa się z równi pochyłej (\(\alpha = 45°\), długość 4 m, \(\mu_k = 0{,}15\)) i uderza w sprężynę (\(k = 500\;\text{N/m}\)) na dole.
(1 pkt) Różnica wysokości [m]:
(1 pkt) Praca tarcia na równi [J]:
(1 pkt) Prędkość u dołu równi [m/s]:
(2 pkt) Maksymalne ściśnięcie sprężyny [m]: